9강. 일반해와 특수해(완결)

미분방정식(9)

2012년 12월 23일 일요일

오후 9:05

   

최적의 답을 찾아가는 과정과

원하는 답을 찾아가는 과정은

엄연히 다르다 - 골든타임 최인혁

   

캬~~~명대사임 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

   

오늘은 우리가 미분방정식의 일반해에 대해 고찰해보는

마지막 날이 될 것 같네요

   

지난시간 결과부터 가져오면

   

	일반해
실근
중근
허근	-다음시간에-

   

여기까지 했죠?

오늘은 드디어 허근 부분의 카페베네 광고를 치워버릴 시간입니다.

   

그나저나... 카페베네 광고 공짜로 해 준 꼴이 됐네...

억울하다 ㅜ.ㅜ

카페베네는 나에게 커피를 달라!!!

   

헛소리는 이제 그만 하고...

   

허근의 경우 일반해 알아봅시다.

허근은 기본적인 풀이법이 실근일 경우랑 완벽히 동일합니다.

특성방정식의 근이 그냥 켤레복소수로 나오는 것 뿐이예요!

   

다만 한 가지 말씀 드리고 싶은게...

예전에 과외교사를 했었는데

수업을 하다가 이런 질문을 받은 적이 있어요

   

왜!!! 허근의 두 근은 항상 켤레복소수 관계냐고...

   

처음에 이 질문을 받았을 때...

정말 놀랐습니다.

공부도 잘 하는 애가...

이런 것을 물어보다니...

   

그런데 분명... 누군가 진심으로 궁금하신 분이 존재 하리라고 믿습니다.

원래 알고 계셨던 분들도 가끔 까먹고 그러기도 하니까..

   

제가 최대한 쉽게 풀어서 설명하려는 이유 중에 하나가

제가 어려웠던 것은 물론이고

학생들 가르쳐 보면서 별별 상상도 못한 곳에서도

진도가 막히는 경우가 왕왕 있는 것을 보았기 때문에...

이런 경험에서 조금이라도 막힐 것 같다고 추측되거나

질문을 받은 경험이 있는 부분은

거의 설명 하고 넘어가려고 합니다.

   

암튼...ㅋㅋㅋ

켤레복소수는 근의 공식에서 나온 것 입니다.

   

   

	실근
	중근
	허근

   

루트 안의 부분이 음수이고, 값은 같고, 앞에 ± 붙고...

그래서 허근일 경우의 두 근은 켤레복소수 입니다.

   

암튼 두 근이 나오는 경우랑 풀이법이 동일하므로

   

   

여기서 a랑 b에 켤레복소수를 넣어 주기만 하면 끝납니다.

즉, 특성방정식의 해가 허근일 경우의 미분방정식의 해는

다음과 같습니다.

   

   

그런데 오일러 공식에 의해서

   

   

이므로

   

   

   

   

이 때, A와 B가 그냥 임의의 상수이기 때문에

임의적으로 다른 문자로 간단하게 대체 할 수 있습니다.

   

그래서 식 (5.17)처럼 쓸 수 있는 것 입니다.

   

   

그런데 이 표현은 필요하면 그때 변환해서 쓰면 되는 것이고

평소에는 특성방정식이 실근 가질 경우랑 똑같다고 생각 하면 됩니다.

익스포넨셜함수를 삼각함수로 변환 하는게 어려운 것도 아니고...

공식은 외우는 것은 최소로!

대신 이해하는 것에 중점을 두는 것이 좋다고 생각해서...

저는 개인적으로 식 (5.17)을 따로 외워 둔 적이 없습니다.

   

제 머릿속에 들어있는 미방을 푸는 규칙은

   

1. 특성방정식을 풀어서 해를 찾는다.

2. 그것이 중근일 경우에는 x가 곱해진 항을 하나 추가한다.

   

이게 끝입니다.

   

그래도 이건 나름 강좌인데...

표로 정리하면

   

	일반해
실근
중근
허근 켤레복소수

   

네 드디어 일반해 구하는 방법의 설명이 끝났네요 ㅋㅋㅋ

   

그리고 특수해는 저 표에 있는 미지의 상수 A,B같은 것들을

주어진 경계조건이나 초기조건을 대입해서

정해주면 됩니다.

   

그리고 우리가 일반해 강좌 시작하면서

나중에 하기로 남겨뒀던 과제가 있죠?

   

   

이 미분방정식을 풀기 위해서

미분연산자를 아래와 같이 간단히 표시하기로 하고

   

   

이 표기법을 사용하여 식 (5.2)는 다음과 같이 쓰고

   

   

괄호 부분을 인수분해도 해 보고...

   

   

마치 미분연산자를 방정식에 들어있는 문자 취급을 했는데...

이렇게 해도 되는 것인지...

지금 알아보겠습니다.

   

   

미분방정식

   

   

의 일반해는

   

   

이것이었죠?

그러니까... 식 (5.9)를 식 (5.6)에 대입한 것과

(5.2)에 대입 한 것을 비교 해 보겠습니다.

   

일단 (5.6)에 대입 한 것 부터~~

   

   

일단 식을 쓰고...

   

   

이 부분부터 계산 해 보면

   

   

   

   

   

   

   

   

   

그리고 (5.9)를 보면

   

   

   

   

라는 것을 알 수 있고

해를 특성방정식에 대입 한 결과인

   

   

위의 식과

   

   

   

   

이것들을 비교 해 보면

   

   

   

   

   

즉,

   

   

이렇게 쓸 수 있고 이것은

우리가 맨 처음 풀기 시작 한 미분방정식

   

   

하고 완벽히 똑같습니다.

   

즉, 미분연산자를 문자처럼

인수분해를 해도 똑같은 결과를 낼 수 있다는 것 입니다.

   

   

이제까지 미분방정식의 해를 구하는 방법과

일반해와 특수해의 의미를 알아보았습니다.

   

그럼 이제 뭐 해야 할까요?

   

문제풀어야겠죠? ㅋㅋㅋ

다음시간부터는 잠시 건너 뛰었던 진도를 다시 나갑니다.

   

진도나가기 참 힘들죠?

원래 첨엔 다 그래요 ㅋㅋㅋ

   

그럼 다시 힘냅시다!!!

   

   

Microsoft OneNote 2010을(를) 사용하여 작성했습니다.
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