6강. 일반해와 특수해(2)

미분방정식(6)

2012년 12월 10일 월요일

오전 4:18

   

   

일반해란 무엇인가?

지난시간에 일반해에 대해 알려드리려다가...

   

이 각박한 세상 속에서 정신을 안 차려서...

엄청난 오개념을 포스팅 해 버렸습니다 ㅜ.ㅜ

   

오개념 짚어주신 오늘의 유머 ABC님 감사드립니다.

   

   

그래서 오개념 바로잡기 긴급 프로젝트에 들어갑니다.

전부터 느끼는 것인데...

전공책은 페이지 순서대로 공부하면 바보입니다.

전공서적은 소설책이 아닙니다.

필요한 부분은 먼저 공부 하는...

페이지 순서를 무시해야 될 경우가 자주 있어요

   

저도 원래는 당연히 맨 앞쪽부터 차례대로 공부 했지만

아무것도 모르고 억지로 공부하던 내용이

뒤에서 설명이 되어 있는 경험을 몇 번 겪어 본 뒤로는

웬만한 책에는 다 있는 색인을 적극 활용하게 되었어요

   

모르는 개념이 나왔다!!

그러면 책 맨 뒤로 가서 색인을 찾거나

맨 앞으로 가서 목차에서 모르는 부분 찾아서

그 부분 먼저 공부하고... 그랬지요

   

과학 공부하시는 많은 분들은

천성이 책을 볼 때 중간내용을 건너 뛰는 것을

본능적으로 거부감 갖는 분들이 많은데...

(저는 그랬어요 ㅋㅋㅋ)

책 왔다갔다 하면서 공부하시는 것!

적응 하셔야 할 겁니다.

   

그러니... 우선은 그냥... 저만 따라 오세요

필요한건 먼저 배우게 해 드릴게요 ㅋㅋ

   

그나저나 일단 저부터 오개념을 바로 잡아야 해서...

며칠 동안 다시 공부하다 보니 일반해를 제대로 설명하려면

한 두 번 글 쓰는 것으로는 감당이 안될 듯 하지만 어쨌든 시작 하겠습니다.

   

잠깐 앞 부분의 진도는 건너 뛰고

8.5절부터 봐야합니다.

한글판 보아스는 417페이지~~

   

8.5 계수가 상수이고, 우변이 0인 이차선형방정식

   

   

이런 형태의 미분방정식의 해를 고찰한다고 하면서 시작하네요.

그러고보니.... 우변이 0이면 동차방정식이라고 말씀 드렸죠?

기억 안 나시면 미분방정식(4)를 참고하세요~!

   

이런 형태의 예제로 다음 방정식을 풀어 보겠습니다.

   

   

   

   

이 표기법을 사용하면 식 (5.2)는 다음과 같이 표현 됩니다.

   

   

괄호 부분을 인수분해하면

   

   

이렇게 표현이 가능합니다.

식 (5.5)는... 필요 없어서 안 씁니다.

   

그런데 지금 미분연산자를

마치 변수에 곱해진 문자처럼 다루고 있는데...

이게 수학적으로 타당한가?

이런 의아함이 생기죠?

   

미분방정식을 풀다가 보면

미분연산자를 통째로,

또는 부분적으로 이항시키면서 계산 할 경우가 많습니다.

마치 문자식의 사칙연산 하는 것 처럼...

   

이런 연산은 미분연산자의 연쇄법칙에 의해

연산과정의 타당성을 보장 할 수 있습니다.

   

책에서는 이런 표현이 가능함을 확인하라고 하는데...

이건 해를 먼저 구한 다음에 직접 해 보면서 체험하는 것이

훨씬 와 닿을 것 같아서 일단은 넘어가겠습니다.

   

그럼 결과를 다시 가지고 와서

   

   

이걸 어떻게 풀어가느냐~~하면

우리는 지금 y가 뭔지 구하고 있었죠?

저거 만족하려면 y가 0이면 끝나네요 ㅋㅋㅋ

   

그런데 그러면 안되고...ㅋㅋㅋ

   

   

위 조건을 만족하는 y의 값이 해가 되는 것 입니다.

당연한 얘기죠?

   

가끔가다가...

   

   

라고 생각하시는 분이 계시는데....

연산자입니다.

연산자는 함수에 적용되어야 수학적 의미가 있는 것이지

그 자체로는 계산이 안 되는 개념입니다.

착각하지 마세요!

   

다시 본론으로 돌아와서...

   

   

이면

   

   

이렇게 되니까...

(쓰잘데기 없는 것 까지 설명하고 싶을 때가 있어요 ㅋㅋ)

   

암튼 우리는 식 (5.7)을 풀면 되는 것 입니다.

식(5.4)를 보조방정식, 또는 특성방정식 이라고 하는데...

보조방정식을 인수분해 하듯이 분리시켜서 식 (5.7)을 만들고

(5.7)에서 분리시킨 부분의 앞부분만 가지고 오면

   

   

이거죠?

이거 풀려면... 다시 미분방정식 형태로 풀어 써야 합니다.

   

너무 쓸데없이 자세히 설명한다고 뭐라 하지 마세요

이곳은 "처음 공부를 시작하는 대학생을 위한 블로그"입니다.

   

암튼 다시 풀어쓰면

   

   

   

저 마지막 식...

   

y라는 상태에 미분연산자를 적용시켰더니(빛을 비추었더니)

-4라는 고유값(물리량)을 내어 놓고(그림자가 생기고)

상태는 그대로 있더라~~~

   

라고 해석 할 수 있지요?

자... 한번 미분해서 상태가 유지되면서 앞에 계수만 튀어나오는 함수

뭐가 있을까요?

그건 바로 "익스포넨셜 함수"입니다.

대충 생각해도 답은 나오지만...

원론적으로 미방의 해가 익스포넨셜 함수 형태로 나오는 이유도

이미 다룬 적 있죠?

까먹으신 분들~~

피직이의 수리물리 강좌 4강 - 미분방정식의 해는 exponential?

편을 참고 해 주세요~

   

다시 본 내용으로 돌아와서

   

   

   

이 정도는 쉽죠?

   

나머지 하나

   

   

   

   

   

   

그리고 이제 중요한 말이 나옵니다.

   

식(5.8)의 두 해는 선형독립이다.

   

제가 맨 처음 미분방정식 강의를 하면서

선형이를 찾아 헤맸었죠?

그 때 찾은 선형이를 오늘 좀 더 명확히 해야 하겠네요 ^^

   

그냥 선형이 아니라 선형독립이어야 벡터공간에서의 표현이 가능합니다.

   

책에서 선형 독립에 대해서 3장을 참고하라고 되어있는데요

간단히 말하면 방향이 일치하지 않는 벡터들이 서로 선형 독립입니다.

약간 수학적 표현으로 "단위벡터가 일치하지 않는 관계"라고 할 수 있죠.

   

예를 들면...

   

위 두 벡터는 선형 종속입니다.

이 두 벡터는 선형종속관계입니다.

수학에서는 종속인지 독립인지 판별하는 방법이 있는데

임의의 계수를 곱해서 더했을 때

그 결과가 0이 될 수 있느냐 없느냐로 판별합니다.

선형종속이라고 판별 할 수 있습니다.

   

여기서 하나 더!

   

   

이 세 벡터는 얼핏 봐서... 더해서 0이 안 나오는데..

그럼 선형 독립이냐?

아닙니다.

   

보라색 벡터와 빨간색벡터에

적당한 상수를 곱해서(방향은 그대로이지만 길이만 바꿔서) 더해주면

   

이렇게 파란색 벡터와 반대방향의 초록색 벡터를 만들 수 있기 때문에

이런 벡터들도 서로 선형 종속관계입니다.

   

그럼 선형 독립이려면 어떤 관계여야 하나?

바로 벡터들이 서로 "직교"관계여야 합니다.

이 "직교"라는 개념이... 나중에 차원이 높아지면

우리가 상상하는 직교 개념과 좀 달라지긴 하지만...

일단 기본적으로 직교 개념은 단위벡터가 서로 수직인 것이 맞습니다.

   

우리가 제일 많이 쓰는 "직교좌표계"

영어로 rectangular coordinate system

또는 이를 만든 수학자 데카르트의 이름을 따서

데카르트 좌표계, 카르테시안 좌표계(Cartesian coordinate system)

이런 이름들이 붙어있는 직교좌표계가

바로 대표적인 선형독립인 벡터공간입니다.

x축, y축, z축은 그 어떤 조합으로도 서로를 상쇄시킬 수 없습니다.

이런 관계에 있는 것이 선형 독립이고...

이것을 판별하는 방법은 Wronskian 행렬식을 풀어보는 것 입니다.

   

Wronskian(론스키안)은 주어진 함수들이 선형 독립인지 종속인지를

판별하는 판별식으로 다음과 같은 행렬식으로 정의합니다.

   

보아스 수리물리 한글판 136페이지 식(8.5)

   

이 때, 위와 같이 정의된 론스키안 행렬식의 값이 0이 아니면 이 함수들은 선형 독립이다.

   

라고 되어있는데...

왜 이러는 걸까요?

   

   

선형 독립을 판별하기 위해

이상한 행렬식을 풀어야만 하는 불편한 진실

다음시간에 계속됩니다.ㅋㅋ

   

Microsoft OneNote 2010을(를) 사용하여 작성했습니다.
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