10강. 기울기장으로 미분방정식 풀기

   

   

진짜진짜 오랜만에 수리물리 포스팅을 올리네요 ^^

   

지금까지 우리는

미분방정식에는 선형과 비선형이 있고

선형미분방정식과 비선형미분방정식의 차이점

일반해와 특별해의 관계와

해를 구하는 방법을 알아보면서

보아스 수리물리학 8장 1절의 예제 4번까지 풀었습니다.

   

물론 배경지식을 위해 실제로는 더 많은 문제를 풀었지만 ㅋㅋㅋ

오늘은 예제 4번 뒷부분을 이어서 나가겠습니다.

   

402페이지를 읽다 보면 이런 말이 나옵니다.

   

미분방정식을 컴퓨터로 풀면 되니까 직접 푸는 방법은 몰라도 되지 않을까?

   

그런데 컴퓨터로 풀면 답만 나옵니다.

미분방정식을 풀어가는 중간 과정에서 유용한 정보가 나오기도 하는데

컴퓨터로 풀면 중간과정의 유용한 정보들을 모두 놓치게 됩니다.

   

컴퓨터는 그저 유용한 보조도구라고 생각하자고 하네요

저도 동의합니다.!!

   

   

그럼 이어서 예제 5번을 풀어봅시다~

   

예제 5. 그림 1.2에 미분방정식 y'=cos x 에 대한 "기울기장"을 그려 놓았다. 해에 대한 곡선의 일반적인 모양을 예제 1로부터 그 해가 y=sin x +C라는 것을 알지 않고도, 어떻게 추적 할 수 있는지 주목하여라.

   

그림 1.2 는 제가 직접 매스매티카로 그렸습니다.

기울기장 그리는 방법은

매스매티카 강좌 5강. 벡터장 그리기를 참고해 주세요~

   

   

이 벡터장 그래프가 바로 벡터 {1, cos x}의 그래프 입니다.

이 그래프가 어떤 함수 y를 미분했더니 cos x함수가 나왔고

이걸 그래프로 그렸는데... 이게 왜 기울기장이라고 불리는 것일까요?

   

   

이 명령은 벡터의 가로 성분은 1로 하고

세로성분은 함수의 미분값으로 하는

벡터를 그려라~~라는 의미입니다.

그림으로 보면 이런것이죠

   

이렇게 모아보면

y축에 있는 벡터들은 전부다 {1,1}의 성분을 가진 벡터겠지요?

   

   

이렇게요~^^

   

그리고 x값이 증가하면 cos x값이 변해서

세로방향 성분이 바뀝니다.

   

이런 벡터를 모아 둔 것이 바로 이 부분입니다.

   

   

그리고 기울기의 정의가

   

   

이고 이것을 그림으로 표현하면

   

이렇게 되는 것인데

x증가량을 1로 맞춰야만 y증가량의 값이 y'값이 돼서

제대로 된 기울기 벡터가 나오기 때문에

이런 벡터들을 모아 놓은 그래프를

기울기장이라고 하는 것입니다.

   

그런데 기울기장을 보고 이런 그림이 떠올라야 합니다.

   

   

벡터장을 따라서 흘러가는 궤적을 그려보니 sin그래프랑 일치하는구나~~

즉, 기울기 따라서 궤적을 그리면

원래 함수가 뭔지 대충은 알 수 있구나~~~

하는 아이디어때문에

물리에서는 기울기장이 중요합니다.

   

자~~ 그러니까 예제 5번의 답은

기울기를 따라 선을 그려보면 원래 함수의 그래프를 추적 할 수 있다

라고 하면 됩니다~^^

마지막으로

본 강좌에 쓰인 매스매티카 파일을 첨부합니다.

10강예제.nb