8강. 일반해와 특수해(4)

미분방정식(8)

2012년 12월 23일 일요일

오전 6:18

   

복습은 다 했지?

   

안 했다고?

   

감히 복습을 안 하다니....

   

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

농담이고요

이 글 보다가 이해 안 되시면 앞에 글 읽고 오시면 되고

이해 되시면 그냥 보시면 되고

다 아는 거면 소고기 사묵.......

에효 ㅡ.ㅡ 그만하고 시작할게요 ㅋㅋ

   

   

이게 지난 시간 공부한 내용 요점이었죠?

그런데 이렇게 단순한 선형결합으로 일반해를 구하는 것은

특성방정식의 근이 2개의 서로 다른 실근을 가질 경우에만

맞아 떨어지는 설명이라고 하면서... 끝냈죠.

   

이걸 일반화 한 것이 식 (5.11)입니다.

   

   

자~~~ 그럼 특성방정식의 근이 중근이면 왜 문제가 되는가...

   

특성방정식의 해가 다음과 같이 같으면

   

   

   

네 ㅋㅋㅋ 안됩니다.

론스키안을 풀어보면 당연히 0이 나오겠죠?

벡터성분이 "직교"는 커녕 "일치"해 버리니...

   

그러면 2차원 벡터공간이 만들어 지는 것이 아니고

그냥 1차원 벡터공간만 존재하게 됩니다.

즉, 해를 표현 할 수 있는 벡터공간이 안 생긴다는 것이죠

   

그럼 중근일 경우에는 뭘 어째야 하나...?

이 때는 2단계로 나눠서 살펴봐야 합니다.

   

1단계.

   

   

저 색깔부분이 0인 경우

   

간단하죠?

   

2단계.

   

   

저 색깔 부분이 0이 아닌 경우.

두 번째 해를 구하기 위해서 이 부분을 치환하겠습니다.

   

   

그러면 식 (5.12)는 다음과 같이 쓸 수 있죠

   

   

가끔 식 (5.12)의 특성방정식과 (5.13)의 특성방정식에서

뭐가 뭔지 헷갈려 하시는 분들이 많아서 색깔까지 넣어봤습니다.

이럼 헷갈리지 않겠죠?

   

   

   

이런 해가 나옵니다.

   

식 (5.14)를 식 (5.13)에 대입하면

   

   

이런 식을 얻을 수 있습니다

어? 그런데 이거 우리 푼 적이 있는 식이네요

미분방정식(4)에서...

   

   

이런 선형미분방정식의 해는

   

   

이런 모양이다 라는 결론을 내렸었죠?

   

   

   

이고,

   

   

이므로

   

   

   

   

이런 해가 나오게 됩니다.

이 때 c는 임의의 상수이기 때문에

아무 알파벳으로 편한 표기로 바꿔도 됩니다.

책에서는 B로 표기했기 때문에 책의 표기를 따라 B로 바꾸어 쓰면

   

   

이런 형태의 식이 특성방정식이 중근을 가질 경우의 일반해 입니다.

   

지금까지의 결론을 종합 정리하면

   

	일반해
실근
중근
허근	-다음시간에-

   

안녕~~ㅋㅋㅋ

   

Microsoft OneNote 2010을(를) 사용하여 작성했습니다.
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