미분방정식(4)
2012년 11월 13일 화요일
오전 6:20
진짜 진짜 오랜만에 수리물리 글 쓰는 것 같네요
죄송 ^^;
손들고 벌 섰어요
봐주세요 ^^;
저번시간에 예제 2번 풀다가 해가 뜬금없이 exponential 형태로 나오는게 왜 그런지 짚고 넘어가겠다고 했었죠?
그거 할게요 ㅋㅋ
사실 물리학에서 미분방정식 풀다보면
가장 흔한 스킬이 계수만 구해서 익스포넨셜 함수에 넣어버리는건데... 그게 다 이유가 있는건데 저 2학년때는 그 이유를 잘 몰라서 맨날 레포트쓸때 trial function에 대입한다.
라고 얼버무렸었거든요
암튼 미방 해가 익스포넨셜 형태가 나오기까지의 과정을 오늘 다뤄보겠습니다.
한글판 보아스 3판은 409페이지네요
단원은 8.3 선형 일차방정식
선형 일차방정식이란
의 형태로 쓰는 방정식이고 여기서 P와 Q는 x의 함수이다
라고 되어있는데요
개인적으로 이렇게 한번 더 생각해야하는 표현은 좋아하지 않습니다.
수식을 풀때 한번씩 더 상기시켜줘야 하거든요
P랑Q가 x의 함수니깐 x로 미분하면 얘네도 차수 낮추고...어쩌고저쩌고... 이런걸 계속 머릿속으로 따지면서 전개해야 하는거라.....
왜냐고요?
식 (3.1)을 풀려면 준비단계가 필요한데
그 준비단계의 시작이 일단 제차방정식을 고려하는 것에서 시작하는 겁니다.
아직 식(3.1)의 해를 구하기 시작한거 아닙니다!!!
아!!
제차미분방정식 (homogeneous differential equation) 이라고 하고,
비제차미분방정식(nonhomogeneous differential equation, inhomogeneous differential equation) 이라고 합니다.
참고자료
http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation
쭉 내려가다 Definitions 부분에 굵은글씨로 Homoneneous랑 nonhomogeneous부분을 참고하세요
http://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_differential_equation
좀 더 자세한게 있을 줄 알고 들어가봤는데 별거 없다는...
우리의 보아스 책에서는 8.5단원에서 이러한 정의가 나오는데 이걸 동차방정식과 비동차방정식으로 표현합니다.
그런데 이 때 "동차"라는 표현은 다변수 함수의 다항식에서 각 변수의 최고차항의 지수가 같은 함수
예를들어
뭐 이런거에서도 쓰이는 단어라서... ^^;
그런데 또 우리 교수님은 동차랑 비동차라는 표현을 자주 쓰셔서 표현법은 다 알아두세요~!!
아!! 비제차의 또다른 이름이 heterogeneous라고도 합니다.
http://users.aber.ac.uk/ruw/teach/260/classification.php
우리교수님은 막 이것저것 쓰셨어요 ㅜ.ㅜ
say yo~~~
제차= 동차, 호모지니어스
비제차= 비동차, 인호모지니어스, 논호모지니어스, 헤테로지니어스
그리고 I'm a genius.
죄송 ㅡ.ㅡ
암튼 오늘의 목적은
대체 왜? 물리에서 미분방정식 풀면 해가 거의다 익스포넨셜 함수로 나올까?
이에 대한 내용입니다.
잊지마세요 ㅋㅋㅋ
다시 책으로 와서...
아!! 아까 제 방식대로 표현한댔죠?
바꿀게요~~
대응하는 식의 넘버는 꼬박꼬박 적어드릴테니 책의 notation이랑 비교하시면서 보셔도 됩니다.
변수분리법 - x랑 y를 = 를 경계로 한쪽으로 몰아줍니다.
빨간색은 y에 관한거니깐 왼쪽으로 몰아주고~~
아!! 역수취해서 넘어가는거 잊지 말자!
당근빠따 파란색도 역수취해서 오른쪽으로 넘기고~~
그럼 분모에 있던놈이 분자로 오겠구나~~
그럼 이렇게 되겠지?
아... 자세히 쓰면서도... 저도 민망해요 ㅡ.ㅡ
이렇게까지 풀어써야 하나...
하지만 이게 이 블로그의 컨셉! 쉬운부분은 님들이 셀프로 스킵해주세요~~^^
암튼 저렇게 변수분리되니깐 정리하면
여기다가 걍 인테그랄을 씌웁니다.
이렇게요~
이렇게 막갖다 붙여도 되냐고요?
네 됩니다.
양변에 똑같은 변화를 줬잖아요? ㅋㅋㅋㅋㅋ
그럼
이건 아시죠? 아셔야해요! 고딩수학이예요
링크는 걸어둘테니 이해 안가시면 따로 연락주세요~
http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9E%90%EC%97%B0%EB%A1%9C%EA%B7%B8
미분 부분 참고하시고
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm
definitions 참고하세요
암튼 그래서...
(3.3) 가운데 식
가 나옵니다.
앗!! 가만!!
눈썰미가 좋으십니다!!
걍 막 써도 됩니다.
개인적으로 표기법 섞이는거 안좋아하는데
책이랑 좀 맞추려다보니... ㅡ.ㅡ
암튼 (3.3) 가운데 식까지 왔습니다~~
이해 다 되셨죠?
(3.3) 가운데 식
이걸 정리하면 (3.3) 마지막 식
이게 나오는겁니다.
그런데...혹시나... 그런분 없겠지만...
진짜 진짜 혹시나...
가운데에서 마지막으로 갈때 왜 익스포넨셜이 나오는지 모르시는 분을 위해...
로그정리를 링크걸어두겠습니다.
http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A1%9C%EA%B7%B8
"특징"부분 참고하세요
http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9E%90%EC%97%B0%EB%A1%9C%EA%B7%B8
이건 맨 윗부분만...
그리고 다음으로 넘어가서~~
라고 하기로 정하면
그러면 식 (3.3)을 다음과 같이 표현 할 수 있지요~
왜 이 식을 만들었냐 하면...
일차 제차 미분방정식의 해를 구하기 위해서인데...
아직 준비단계입니다.
지금까지 꽤 길게 내려왔는데
전부다 준비단계입니다.
그럼 이제 미방 푸나요?
아직입니다.
아직도 준비를 더 해야 합니다.
이제 책에서 시키는 짓을 행동에 옮겨보겠습니다.
우선 식 (3.6)을 x에대해 미분하라네요
하죠 뭐~~
미분하면
여기서 A는 상수니깐 미분하면 0이군
그리고 두 함수가 곱해져 있을때의 미분법은
이거니깐...
이건데...
이 노란부분은 exponential 함수의 미분규칙
이거니깐
이 결과를 다시 대입하면
그리고 식 (3.5)를 이용하라고 했는데 그게
이거니깐
이 부분이 바뀌면
이렇게 되죠?
네! 이게 식(3.7)입니다.
그렇죠?
네... 이제서야 준비가 끝난겁니다 ㅡ.ㅡ
원래 뭐든지 과정이 중요한 법이죠? ㅋㅋ
자 그럼 식(3.7)의 결과와 식(3.1)과 결합하면
저 두 부분이 같으니까 결국 하나로 합칠 수 있죠?
그게 식(3.8)입니다.
식 (3.8)에서 주목할 부분만 빼내오면
이부분인데 자~~~
미분한거 다시 적분하면 뭐가되죠?
네^^ 원래함수로 돌아오죠?
즉,
이렇게 되므로 식(3.8)의 양 변을 적분하면
또는 좌변의 익스포넨셜을 우변으로 넘기면
이렇게 만들 수 있습니다.
이 때,
책을 보면 적분인수는 8장4절을 참조하라고 되어있는데
8장4절은 Bernoulli(베르누이)방정식으로 시작하고 있습니다.
풀 수 있는 비선형 미방이라 예를 든 것 같은데
이 비선형 미분방정식을 "풀 수 있는 식으로 바꿔주는"방법이 바로 적분인수를 이용하는 것 입니다.
네! 적분인수가 뭔지 알았다면 우리는 긴 준비 필요없이
식(3.1)을 풀 수 있는 적분인수를 찾아서 곱해버린 뒤에 해를 찾아나가면 되는것이었는데...
지금 그런 배경지식을 모른다고 가정했기때문에 미친듯이 길어졌네요 ㅜ.ㅜ
암튼 오늘의 결론은 났습니다.
미분방정식을 풀면 왜 exponential 형태가 나오는 것인가?
한번 풀어보니 이해가 되죠?
일반해가 익스포넨셜 형태라 그런겁니다.
그럼 다음시간부터는 오늘의 배경지식을 발판삼아서 다시 진도를 나가 보도록 하겠습니다.
Microsoft OneNote 2010을(를) 사용하여 작성했습니다.
모든 노트 및 정보를 한 곳에서 볼 수 있습니다.
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