Kronig-Penney model (5)
2012년 11월 15일 목요일
오후 8:29
자~~ 4부에서 Kronig-Penny 모델 결론을 냈는데 그게 뭘 의미하는지,
감이오시나요?
감이오는 그대는 인간이 아니라 반도체 ㅋㅋㅋㅋㅋ
오늘은 예제를 풀어 보면서
아~~ 이래서 밴드갭이 생기는구나~~
할겁니다 ㅋㅋㅋ
저는 반도체 물리학을 이 책으로 배웠는데요
Semiconductor Physics and Devices
[Donald A. Neamen] -3rd Edition
다행히 번역판도 있습니다. ^^
그리고...이건 비밀인데....
영문판은 어둠의 경로에 PDF파일로 떠돌아 다닙니다.
저는 이 책 한글판, 영문판 다 있는데...
지금은 없음 ㅜ.ㅜ
한국에 놓고 해외도피를...ㅜ.ㅜ
그래서 구글링 해 보니깐 ㅋㅋㅋㅋ PDF가 있는거임!
오예~~~ㅋㅋㅋ
이공대생이면 구글링 능력은 기본옵션인거 아시죠?
제가 이걸 직접 공유하면 저는 법을 어기게 되고
법을 어기면 사회가 무너지고
가정이 무너지고... 그만할게요
암튼, 이 책 3단원보면 다루고 있는 내용이 다
왜 밴드갭이 생기나?
이겁니다.
책 내용을 좀 퍼왔는데...
식 3.19가 1~4부까지 엄청난 수식전개를 하면서
우리가 만든 식이고요
(아니다 저 혼자 만든 식임 ㅡ.ㅡ ㅋㅋㅋ)
문제를 쭉 읽어보니 마지막 부분에
왜인지는 이따 설명 나옵니다~^^
전자기학에서는 소문자 i가 전류를 뜻하기도 해서 이때는 허수를 j처럼 생긴놈으로 바꿔서 쓰는데 뭐 그거라고 생각 하시면 됩니다.
반도체에서도 전류를 다루기 때문에 소문자 i랑 허수 i랑 똑같이 쓰면 혼돈의 카오스가 되거든요
암튼 식 3.20처럼 허수부분을 없애주고 식을 다시 만들면
식 3.21이 되는건데...
사인과 코사인이 하이퍼볼릭으로 바뀌는거 놓치지 마세요~!
이거는 어려운건 아닌데...
수리물리에서 삼각함수 나오면 다룰게요
근데 반도체 공부할 학년 됐으면... 아마 아실듯
암튼 이렇게 식을 쓰면 허용에너지 밴드의 결과를 낸다네요
그리고, 자연계에서는 퍼텐셜 장벽의 폭이 거의 0에 가깝고
(주의!! 0은 아닙니다. b에 0대입하는 순간 답이 안나옵니다.)
장벽의 높이는 무한대에 가까운...
그러니까 입자가 얇고 높은 벽으로 둘러싸인
방 안에 갇혀있다고 생각하면 됩니다.
이를 이용하면 식3.22 의 맨 앞의 계수부분이 만들어 진답니다.
그런데 저게 어디서 튀어나온건지...
어디서 본 적 있는것 같긴 한데...
저거는 제가 양자역학 포스팅하다가 찾아내면
이 글과 링크걸어둘게요
지금은... 그냥 저렇게 된다고 넘어가 주세요 ㅜ.ㅜ 죄송
그리고 또 한가지!
을 이용해서 식 3.22 처럼 표현 할 수 있습니다.
근데 식이 뭐 바뀌긴 했는데...
이거는 또 어디다 쓰는 식일까요?
그래서 문제를 하나 풀어보겠습니다.
연습문제 3.9
문제 원본은 저건데...연습문제 3.5에 나온 파라미터를 가지고
허용밴드갭을 전자볼트 단위로 구하라네요.
아오!!!!! 이럼 문제 3.5도 가져와야 하잖아 ㅜ.ㅜ
이건 그냥 참고만 할거니까 복붙할게요 ㅋㅋㅋ
그래프 그리라는 함수가 결국
이거네요
이제 풀이를 시작하겠습니다.
매스매티카를 사용해서...
파일도 함께 첨부하겠습니다
크로니-페니5.nb
그래프를 그리기 위해 함수를 설정합니다.
그 함수는 우변과 같이 정의되도록 한다.
이겁니다.
나중에 또 써먹을라고...ㅋㅋㅋ
그리고 그래프를 그립니다.
이 때, y=1, y=-1 그래프를 함께 그려 준 이유는
이 범위 안에 들어오는 부분만 허용영역이라는 것을 그래프로 보기 위해서 입니다.
이걸 문제에서 제시한 영역별로 해석하면
이 영역에서
이렇게 됩니다.
즉, 첫번째 허용구역인
이 그림과 같은 부분이 되겠죠?
이 정도 되겠네요
이렇게 대략적으로 해의 범위를 알 때에는
매스매티카의 수치해석능력을 이용하면 됩니다.
그런데 우리 맨 처음에
이렇게 치환했던거... 기억 안나셨죠?
우리 1부에서 알파랑 베타를 치환했는데 각각
이렇게 치환했었어요
그래서 알파는 총 에너지랑 관련있는 양이고
베타는 퍼텐셜과 관련있는 양 입니다.
암튼
위 식을 변형시켜서
이렇게 바꾸면 에너지를 구할 수 있겠죠?
이 모든 데이터를 입력만 하면 에너지 구해지는 겁니다.
그런데 문제에서 답을 전자볼트 단위로 내라고 했죠?
플랑크상수의 단위가 에너지와 시간이 곱해진 단위이기 때문에
지금 이 플랑크상수의 단위를 전자볼트 단위로 써야 한다는 것 잊지마세요!
라고 말하고 단위분석을 하니깐
처음부터 전자볼트 단위를 쓰면 안되네요
에너지는 기본 단위가 J인데 줄은
이 단위를 가지고 있어서... 일단을 J단위로 에너지를 구하고
그걸 전자볼트로 환산해야겠네요
첨부된 매스매티카 파일에는 줄 단위의 에너지도 같이 만들어 뒀습니다.
에너지의 단위를 환산하는 방법은 위키피디아의 전자볼트를 참고하세요
다시 결과 가지고 와서
네 ㅋㅋ 첫번째 허용 에너지 영역은 1.01537eV에서 시작하네요
그럼 첫번째 허용 에너지 영역의 끝은 어딜까요?
다시 첫번째 영역 그래프 들고 와서~~
보니까~~~ 3 조금 넘는곳에 값이 있네요
그럼 다시 매스매티카로 가서~~
계산 해 보니 (a)영역 즉, 첫번째 허용 에너지 영역은
1.01537eV ~ 1.50239eV 입니다.
자~~ 그럼 이제 방법도 알았겠다
두번째 영역 바로 구하러 가겠습니다.
두번째 영역 빼오면
시작은 5 조금 넘는지점, 끝은 6조금 넘는지점
매스매티카에 입력 gogo
두번째 허용 에너지 범위는
4.16426eV ~ 6.00956eV
입니다.
세번째
세번째 허용 에너지
9.68068eV ~ 13.5215eV
네번째
네번째 허용 에너지 영역
17.7985eV ~ 24.0383eV
종합하면 허용되는 에너지 영역은
(a)1.01537eV ~ 1.50239eV
(b)4.16426eV ~ 6.00956eV
(c)9.68068eV ~ 13.5215eV
(d)17.7985eV ~ 24.0383eV
이렇게 되므로 중간중간에 허용되지 않는 영역이 존재합니다.
예를들어 2eV의 에너지를 가진 전자는 (a)영역 보다는 크고
(b)영역보다는 작은...
허용되지 않는 에너지 영역이므로
퍼텐셜 장벽의 주기가 5Å이고 높이가 무한대인 물질에는 존재 할 수
없는 전자가 되는 것입니다.
결국 Kronig-Penny model의 최종 결론은
결정화가 잘 되어서 원자가 주기적으로 배열되어있으면
퍼텐셜이 주기적인 모양이 되는데
그러면 에너지의 허용영역과 허용되지 않는 영역이 생겨서
에너지밴드와 밴드갭이 생긴다는 것입니다.
아~~~~
드디어 끝났네요 ㅋㅋㅋㅋ
이거 한번 하면
양자역학, 미분방정식, 선형대수학, 매스매티카, 수치해석까지
다 필요한 문제니까 한번씩 해보세요
보람찹니다 ^^
Microsoft OneNote 2010을(를) 사용하여 작성했습니다.
모든 노트 및 정보를 한 곳에서 볼 수 있습니다.
다시 한번 첨부파일
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