에너지 밴드갭이 생기는 이유 (1)

Kronig-Penney model (1)

2012년 11월 14일 수요일

오전 5:06

오늘은 특별부록이예요 ~~^^

제 인생 최악의 노가다를 공개하겠습니다.

   

반도체를 공부하다보면 에너지 밴드랑 밴드갭이 나오고 반도체들은 그 반도체의 밴드갭 특성을 응용하여 빛을 내기도 하고, 전류를 만들기도 하고... 그럽니다.

   

그런데 이 밴드갭이 생기는 원리를 저는 Kronig-Penney 모델로 배웠어요~

   

3학년 1학기때 반도체물리학을 들었는데...

원래 4학년과목인데 3학년때 양자역학도 제대로 모르는 상태에서 듣느라 ㅜ.ㅜ 힘들었어요 ㅜ.ㅜ

   

암튼 오늘은 "주기적으로 입자가 배열"되어있으면 왜 밴드갭이 생기는지를 증명하겠습니다.

   

아마 이 개 뻘짓증명 노가다를 해서 올리는건 저밖에 없을걸요?

   

제가... 이거 행렬식 푸느라고 3일동안 밥도 거의 안먹고 잠도 거의 안자고 초 집중해서...

결핵걸려서 1년동안 기침하고...

친구들도 결핵 옮고... (미안 ㅜ.ㅜ)

그랬던 추억의 문제입니다.

   

공부하다 결핵걸려봤어요?

진짜 아오!!!!

완전 뿌듯함 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

   

암튼 시작하겠습니다.

   

크로니-페니 모델 증명은 다음 그림과 같은 규칙적인 퍼텐셜을 가정하면서 시작합니다.

   

   

왜냐고요? 반도체는 대부분 고체인데 우리가 관심있는것은

"결정화가 잘 된, 잘 만들어진 반도체"

이거든요

결정의 특징은 구성원자가 "규칙적"으로 배열되어 있다는 것이죠?

그 규칙적으로 배열된 원자들은 위의 그림과 같이 규칙적인 형태의 퍼텐셜을 형성하기 때문에 저런 이상적인 퍼텐셜 함수를 가정해서 밴드갭이 생기는 모델을 만든것이 크로니-페니 모델입니다.

   

암튼 위의 그림처럼 Potential 함수가 주기성을 띄면 파동함수의 형태는 블로흐 이론에 의해 다음과 같이 됩니다.

   

   

참고-> 블로흐 정리 , Bloch Theorem

   

   

이제 파동함수를 찾기 위해 슈뢰딩거 방정식에 대입해야하니까... 슈뢰딩거 방정식 형태부터 소개하겠습니다.

   

   

그리고 위의 그림에서 I영역과 II영역으로 나눈 이유는 퍼텐셜이 달라서 슈뢰딩거 방정식의 V 함수가 바뀌기 때문입니다.

   

I영역의 파동함수부터 찾겠습니다.

   

I영역.

   

   

즉, 위의 슈뢰딩거 방정식에서 빨간색 퍼텐셜 함수가 0이라는 소리입니다.

   

그럼 I영역의 슈뢰딩거방정식은

   

   

이렇게 되겠죠?

그리고 블로흐정리에 따라서 1영역의 파동함수를

   

   

이렇게 표현해서 슈뢰딩거 방정식에 대입하면

   

   

이걸 전개하면

   

   

   

   

그리고 식을 간단히 하기 위해

   

   

이렇게 치환해버리면

   

   

   

이 미분방정식을 풀면 되는데...

풀이 원리는 미분방정식 강좌에서 다루겠습니다.

여기는 풀이 과정만 쫙 쓸게요 (그것도 빡세서...ㅜ.ㅜ)

   

   

   

   

   

II영역.

   

   

   

   

   

슈뢰딩거방정식은

   

   

   

   

이 때,

   

   

으로 치환.

   

   

   

I에서와 동일하게 미분방정식을 풀면

   

이제 경계조건을 적용해야 하는데 경계조건은 다음과 같습니다.

파동함수는 경계부분에서 "매끄럽게"이어져야 한다.

수학적으로는 다음 조건을 만족해야 하는 것입니다.

   

1. 경계면에서 두 파동함수의 값이 서로 같아야 한다.

2. 경계면에서 두 파동함수의 미분값이 서로 같아야 한다.

   

첫번째 조건부터 만족시켜 보겠습니다.

다시 그래프를 가져와서...살펴보면

   

   

I영역과 II영역의 경계는 x가 0, a, a+b ..... 이렇게 많이 있습니다.

   

우선 제일 대표적인 경계면인 0을 대입해 보겠습니다.

   

1. 경계면에서 두 파동함수의 값이 서로 같아야 한다.

   

이 조건부터 만족시키려면

   

   

   

2. 경계면에서 두 파동함수의 미분값이 서로 같아야 한다.

   

이것을 만족하려면

   

   

이걸 만족해야 하니깐...

   

   

   

위의 과정을 0 좌측의 첫번째 경계면인 -b와

   

오른쪽 첫번째 경계면인 a에도 적용하면

   

1. 파동함수 경계조건

   

   

   

   

2. 파동함수 미분값 경계조건

   

   

   

   

   

위의 결과들을 모두 종합하면

   

   

   

   

   

주의! 맨 아래 두줄은 하나의 식 입니다.!!!(넘 길어 ㅜ.ㅜ)

   

행렬로 표현하면 (안짤리려니까...글씨가 너무 작아지네요)

   

   

즉, 위의 4X4 행렬의 determinant가 0이 되는 조건을 찾아주면 됩니다.^^

   

   

제길.................

이걸... 내가 왜 ㅜ.ㅜ 한글문서로 작성했을까 ㅜ.ㅜ

   

지금 예전에 한 것 보고 옮겨적고 있는건데도 진짜 하기 싫어지네요 ㅋㅋㅋㅋ

결핵걸릴만하네...

   

이건 양이 많으니깐 우선 1부는 여기서 끊고~~

2부 에서 이어서 하겠습니다.

   

Microsoft OneNote 2010을(를) 사용하여 작성했습니다.
모든 노트 및 정보를 한 곳에서 볼 수 있습니다.