1강. 선형이를 찾습니다.

미분방정식(1)

2012년 11월 4일 일요일

오후 10:59

Boas 수리물리 3판 (한글) 8장

-상미분방정식-

   

미분방정식부터 시작하는 이유는 내 경험의 산물입니다.

이것 때문에 엄청 고생해서...

대부분 물리학과 1학년이면 대학물리를 배웁니다.

그때는 안배운 수학내용으로 고생하는 일은 없죠?

고등학교때 다 배운거긴 하지만 좀 많이 심하게 복잡해지기만 할 뿐…

고딩때는 답이 숫자로 딱 떨어지는 경우가 대부분인데

대학오면 소수점도 있고… 어쩔땐 값을 못내서 역함수 형태로 답 쓰고..

그래서 이게 다 푼건지… 더 풀게 남은건지…

그냥 그런 딜레마정도?

   

근데 2학년 올라오면 아마 역학이랑 수리물리로 본격적인 전공수업에

들어가게 될 것입니다.

진정한 멘붕은 이때부터 시작이죠!!!

   

우리는 고딩때 미분의 반대는 적분, 적분의 반대는 미분

요렇게 배워서… 역학책에 있는 운동방정식을 미적분 개념으로 접근하려

할 경우가 많습니다.

저는 그랬는데… 나만 병신인가? ㅜ.ㅜ ㅋㅋㅋㅋㅋ

   

암튼 그래서 미분방정식부터 공부를 해야 2학년 1학기가 다 끝나고

시험도 다 봤는데

내가 무엇을 어떻게 왜 공부하고 풀었는지 모르면 안되겠죠?

   

저는…. 사실 얼마 전에 알았어요

미분방정식이 그냥 문제푸는 공식이 아니고 의미가 다 있다는 것을…

이런거 저런거 다 아는건 전부 쏟아놓겠습니다.

   

   

이제 시작!! (안재밌음? ㅜ.ㅜ)

   

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본 블로그는 책으로 공부하다가 더 자세히 알고싶은 사람들을 위한 곳입니다.

책 없으면 효과가 저렴해지니 투자하세요!

자 그럼 쭉 읽어 내려 갑시다~~~

   

[미분방정식] : 미분을 포함하는 방정식

편미분방정식	편미분이 들어있는 방정식	편미분이 처음엔 쉬워보이는데 나중에 이자식이 배반때림!
상미분방정식	편미분 아니고 그냥미분	일단 역학하면서 급한 불 끌 놈

   

우리가 시작할것은 상미분방정식임

예제로 처음 나오는 것도 뉴턴 제2법칙 ㅋㅋㅋ

   

깨알같은 벡터표시 보이시나요? 디테일 자랑하고싶었어요 ㅋㅋ

이건 너무 유명하죠?

   

식 보면 미분 있죠? 그냥 그래서 미분방정식이래요

역학에서 미분방정식을 푸는 이유는 "운동을 예측"하기 위해서예요

위성을 원하는 변위에 "이동"시키기 위해서 힘을 어떻게 가해야 하는지

이런 문제 풀려면 저 위의 미분방정식에 "알고있는" 데이터를 대입하고

슥슥 풀어서 몰랐던거 찾아내면 되는거예요

어때요? 참 쉽죠?

   

   

여기서 잠깐! ㅋㅋ

(알아요 심하게 별걸 다 설명하는거… 하지만 누군가는 저한테 고마울걸요?)

중딩때 기울기 배웠죠?

이걸 간단하게 요렇게 표기했죠?

이렇게...

델타는 중딩수준으로 눈에 띄는… 좀 스케일이 큰 변화량이고

미분연산자 d는 졸라 미친듯이 소심하게 찔끔 변한 변화량입니다.

그래서 우리말로 미소변화량이라고…..ㅡ.ㅡ ㅋㅋㅋㅋㅋ

   

   

그 다음 나오는 식.

열역학이네요 ㅜ.ㅜ

나 이거 싫어 ㅜ.ㅜ

수식 자체를 말로 풀어보면

시간에 따른 열 에너지의 변화량을 구하고 싶은데

=

전도율이랑 단면적은 알고 있고 온도가 그 단면적을 지나서 빠져나가는 완전 소심한 그 부분의 온도변화를 측정해서 죄다 곱해버리면 되겠네~~

이렇게 됩니다.

왜 곱하는지 잘 모르겠다고요?

더 자세히 설명 들어갑니다~~~

이걸 구할라면

이놈들을 다 곱해주면 1초동안 빠져나간 물의 양을 알 수 있겠죠?

이런걸 구하려는 것이고, 그러려면 미분방정식을 풀어야 한다

뭐 이런겁니다.

   

식 1.2는…...나중에 기회되면 다루겠습니다.

식 설명만 하다가 시간 다 가네 ㅡ.ㅡ

그냥 아~~ 전기회로를 구성할때도 미분방정식이 필요하구나~~

이정도로 넘어가세요

지금 별로 안중요해요 ㅋㅋ

   

중요한건 선형미분방정식이 도대체 뭐냐는것이죠

책보면 몇 가지 예가 나와있지요

음…… 뭐래는거야?

   

저건 무시하고 이렇게 생각하세요

독립변수랑 종속변수가 딱 정해진거!

이 때 독립변수가 시간이고 위치는 종속변수죠?

그런데 위치를 시간으로 미분할때 미분결과에 종속변수가 엉뚱하게 끼어들면 선형방정식이 아닙니다.

물론 물리에서 비선형을 연구하기도 하지만

대부분의 운동방정식은 선형입니다.

위치 미분해서 속도 구했는데 속도 형태가 다음과 같다고 생각 해 보세요

즉, 독립변수가 종속변수랑 뭔가 꼬여있다~~

그럼 비선형인겁니다.

주의할것은

지금은 그냥 막 계산한겁니다. 선형비선형만 판별할라고… 적분상수 어디갔냐고 찾지마세요~~ 놀러나갔으니까…

암튼 중요한건 시간이라는 독립변수가 위치라는 종속변수랑 꼬여있지 않다는 겁니다.

책에도 나와있죠?

   

책에 있는 표현을 완전히 풀어서 제 방식대로 쓰면

   

수학적으로 엄밀히 정리하면 틀린 표현이겠지만

   

라고 생각하면 될겁니다.

   

그런데… 도대체 왜? 제가 오늘 미분방정식에서 선형이냐 선형이 아니냐에 이렇게 목숨을 걸었을까요?

이게 선형대수학이랑 관계가 있을까요?

하긴… 선형대수학은 벡터공간을 다루는것인데… 운동방정식도 벡터공간이니까..

뭔가 관계가 있긴 있을 것 같죠?

궁금하죠? 뭔얘기 하려는 건지…

재촉하지 마세요

   

   

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

그 천국은 다음에 ….

죄송 ㅡ.ㅡ

오늘은…. 끝!!

   

Microsoft OneNote 2013에서 작성