7강. 일반해와 특수해(3)

미분방정식(7)

2012년 12월 22일 토요일

오후 10:56

   

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

지난시간은 참 즐거웠지요?

아닌가? ㅜ.ㅜ

   

그럼 걍 바로 시작할게요 ㅜ.ㅜ

   

론스키안... 왜 풀어야 하는 걸까요?

어떤 의미를 가진 행렬식 일까요?

분석하기 위해 론스키안의 정의를 다시 가져오겠습니다.

   

보아스 수리물리 한글판 136페이지 식(8.5)

   

   

   

이 때, 위와 같이 정의된 론스키안 행렬식의 값이 0이 아니면

이 함수들은 선형 독립이다.

   

이 식의 의미를 지난 시간 예를 들었던 벡터를 가지고 살펴보겠습니다.

   

   

요놈들...음.... 미분하려고 봤더니...ㅋㅋㅋㅋ 상수벡터네...ㅋㅋㅋㅋ

이런것까지 미리 생각하고 했어야 하는데...

죄송해요 ㅜ.ㅜ

   

지금 저 벡터를 약간 변형시킬 필요가 있네요

벡터가 2개니까... n=2이고 론스키안 정의에 따라

1차 미분까지만 존재하면 론스키안을 정의하고 계산 할 수 있으니까...

1차식으로 변형하겠습니다.

   

   

이렇게요~~

그럼 이 두 함수의 론스키안은 이렇게 정의됩니다.

   

   

네!! 론스키안으로 선형 종속,독립을 판별하는 아이디어는

각각의 함수에 상대편의 기울기를 곱해서

성분이 똑같은지 아닌지를 보는 것 입니다.

   

행렬식이 0이 된다는 소리는

내 벡터의 방향은 그대로 상대의 길이랑

나의 길이랑 똑같이 만들기 위해서

내 미분값 상대방한테 곱하라고 주고

상대방 미분값 받아서 와서 곱해주니깐

완전 똑같아 진다는 것이고

그것은 곧 애초에 방향이 같았다는 뜻이니까

성분이 같다는 의미라서

선형 종속인 것입니다....

   

행렬식이 0이 되지 않는다는 의미는

상쇄되지 않는 성분이 존재한다는 의미이고

상쇄될 수 없는 성분은 서로 직교하는 벡터 뿐이므로

행렬식이 0이 아니라는 소리는 직교하는 벡터가 존재한다는 것이고

직교하는 벡터간의 관계가 바로 선형 독립 입니다.

   

   

이 벡터는 위에서 그렸던 벡터에서

빨간색 벡터만 조금 회전시킨 것 입니다.

그런데 이렇게 회전시키면 빨간벡터를 표현하기 위해서는

초록색 벡터와 같이... 파란색 벡터와 직교되는 방향의 성분이 필요합니다.

그리고 초록색 벡터는 파란색 벡터의 조합으로는

절대로 없앨 수 없기 때문에 파란색 벡터와 초록색 벡터는 선형 독립입니다.

   

주의할 점은 서로 직교하는 벡터인 초록색과 파란색이

서로 독립이라는 말이지, 저 세 개의 벡터가 서로 독립이라는 것은 아닙니다.

파란벡터와 초록벡터의 조합으로 얼마든지 빨간벡터를 상쇄시키는 벡터를

만들 수 있기 때문에 세 벡터는 서로 종속입니다.

다만 두 개씩 따로 빼서 보면 선형 독립이라는 것이죠

   

결론은 론스키안 행렬식을 계산해서

값이 0이 나오면 선형 종속이고

0이 아니면 선형 독립이라는 것 입니다.

   

그런데 우리 왜 선형 독립이니 종속이니...

이런걸 따지게 됐는지... 기억하세요?

   

가끔 공부하다보면

중간단계에서 엄청난 계산을 해야 할 경우가 생기고

그 계산을 끝낸 뒤에 흔히 오는 현상이

내가 지금 왜 이걸 해야하나?

이런 멘붕이 온다는 것이죠.

   

   

그래서 문제 풀다가 계속

맨 처음 하려던 것이 무엇이었는지

상기시켜줘야만 합니다.

   

우리는... 418페이지의 예제 1번을 풀고 있었어요~ㅋㅋㅋ

   

   

이 식의 해를 찾고 있었고

이 미분방정식의 해가 두 개 나왔는데 그 것이

   

   

이런 결과였고

식 (5.8)의 두 해가 선형독립이라고 하는 말이 나와서...

뜬금없이 뭔 헛소리야?

라는 생각에 선형독립이 의미하는 바를 알아 본 것 입니다.

   

진짜 독립인지 종속인지 확인하기 위해서

지금 식 (5.8)의 두 해를 론스키안 행렬식에 넣어보겠습니다.

   

   

네!!! 0이 안 나옵니다.

그래서 식 (5.8)의 두 식은 서로 선형 독립입니다.

선형 독립이란 소리는 서로 직교한다는 의미이기 때문에

직교좌표계의 개념을 확장하여

다음과 같은 벡터공간을 정의 할 수 있습니다.

   

   

일반해는 바로 이 벡터 공간을 정의하고

우리가 풀려는 미분방정식의 해가

이 벡터공간에서 어떤 형태로 존재 하는지

여기까지만 확인하는 것이 일반해를 구하는 것입니다.

   

   

즉, 우리가 풀었던 미분방정식

   

   

의 일반해는

   

   

이렇게 표현 할 수 있다는 것 입니다.

   

   

여기에 경계조건이 주어졌다면 그 다른 조건들까지 만족하는

일반해의 벡터공간에서 특정한 상태 한 지점에 점을 찍는것

이것이 미분방정식의 특별해를 구하는 것 입니다.

   

여기까지가 특별해와 일반해의 관계였습니다.

어? 그런데... 우리는 오개념 수정하기로 했었는데...

5강에서 제가 일반해를 정의할 때

선형 미분방정식의 일반해는 가능한 해들의 선형결합으로 구할 수 있다.

라고 표현했는데...

지금 보니까 선형결합 맞는데...

뭐가 오개념이라는 거지?

   

라고 생각하신분? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

   

지금 우리가 풀어재낀것은

   

   

이 식이었고, 이 식을 특성방정식으로 표현하면

   

   

이렇게 됐고...

이 특성방정식을 인수분해 하면

   

   

이렇게 인수분해가 됐죠?

즉, 근이 "명확하게 2개"있는 미분방정식 이었습니다.

   

제가 정의했던 것.

일반해는 가능한 해들의 선형결합으로 만들어진다

이 말은 특성방정식의 근이 2개 일 경우에만 해당하는 말 이었습니다.

   

하지만 고딩때 배웠듯이

2차식의 근은

서로 다른 근이 존재 할 경우도 있고

중근이 존재 할 때도 있고

때로는 허근(근이 없는 경우)이 존재 할 때도 있습니다.

   

중근일 경우와 허근일 경우는 단순히 더해주면 안됩니다.

왜냐고요?

왜냐하면.

   

커~~~~즈 유 아 마 걸~~~

유 아 디 원 댓 아 인비~~~젼드 인 마 드림

앤 웬 아 유어~~ㄹ 라운ㄷ~~~~~~~~~

   

                                           -다음 이 시간에 계속-

   

Microsoft OneNote 2010을(를) 사용하여 작성했습니다.
모든 노트 및 정보를 한 곳에서 볼 수 있습니다.