[논란을 종결한다!] 낙하하는 엘리베이터에서 살짝 뛰면 살 수 있는가?

   

추락하는 엘리베이터가 땅에 떨어지기 직전에 점프를 하면 살 수 있는 것 아닌가 하는 의문은 정말이지 매우 꾸준히 제기되고 있습니다.

왜 이런 의문이 속 시원히 해결 된 적이 없는지 생각 해 보니 과학게시판에 이런 질문이 올라 올 때마다 많은 분들이 글을 통해 자세히 설명을 해 주시고는 있지만 시각적인 자료가 없어서 이해를 하지 못하는 분들이 많을 것이라는 결론에 도달했습니다. 그래서 오늘 그 논란을 종결시켜보려고 합니다.

재미있을 것 같으면 손가락 눌러서 추천 한 번 해 주세요~~

   

1. 상황 설정

   

   

   

엘리베이터의 높이는 표준규격을 따라 2.2미터로 설정했고 탑승자는 표준규격의 아이언맨으로 가정하겠습니다.

이 때, 아이언맨의 키를 1.86미터로 설정한 근거를 함께 첨부합니다.

http://allheight.blogspot.ca/2013/03/iron-man-anthony-stark-height-how-tall.html

   

   

2. 줄이 끊어진 뒤에 엘리베이터의 운명은??

   

극적인 상황을 연출하기 위해서 엘리베이터 안전제동브레이크도 고장 난 상황으로 설정하겠습니다.

엘리베이터 제동브레이크가 고장 나지 않았다면 엘리베이터는 추락하지 않으니까 이 부분은 어쩔 수 없이 고장을 내야겠네요.

그리고 아이언맨 슈트도 고장나서 토니 스타크는 보통 인간의 능력만 사용 할 수 있는 상태라고 합시다. 아이언맨 슈트가 고장이 안 났으면 당연히 살아 날 테니까… ㅋㅋㅋ

이런 쓸데없는 상황설정 하는 것이 사고실험의 가장 큰 재미이지요 ^^

암튼 이런 상황을 설정 하면 엘리베이터는 줄이 끊어지는 순간부터 자유낙하를 시작하는데 공기와의 저항력 때문에 언젠가는 종단속도에 도달하고 그 그래프는 아래와 같습니다.

   

   

그런데 원래 공기저항력은 물체의 재질과 모양도 상관이 있는데다가 속도에 비례하는 항, 속도의 제곱에 비례하는 항, 세제곱에 비례하는 항….. 이런 무한개의 항 들의 각각의 계수를 다 구해야 계산이 가능하고 이 것을 측정하는 방법은 직접 실험을 해 보는 방법밖에 없습니다.

즉, 실제 종단속도를 예측하는 것 자체가 매우 어려운 일이기 때문에 모든 수능문제에서는 공기와의 저항력을 무시한다는 말이 들어있는 것입니다.

그런데 지금은 공기저항까지 무시하면 종단속도라는 최후의 보루까지 없어져서 추락하는 엘리베이터에서 살아날 확률이 완전히 사라지기 때문에 어떻게든 가능성을 높여보는 쪽으로 설정을 해야만 합니다. 최대한 살아날 확률을 높여서 만들어 둔 실험환경에서 도출된 결과보다도 더 죽을확률이 더 높다고 말 해야지 더 이상 살 수 있는 가능성에 대한 말이 나오지 않을거니까요 ㅋㅋㅋ

그래서 종단속도를 무시하지 않고 오히려 엘리베이터가 이동하는 통로의 내부 기압이 매우매우 높다고 설정하여 종단속도에 금방 도달해서 살아날 수 있을 확률이 더 높아지도록 하겠습니다.

즉, 최대한 금방 종단속도에 도달한다고 가정해서 3초만에 도달한다고 설정하고 논리를 전개하겠습니다. 다시 한 번 말하지만 지금 이렇게 설정한 상태가 "최대한 생존가능성을 높여 둔 설정"입니다.

그럼 이제 위의 속도-시간 그래프에 시간을 표기 할 수 있겠지요?

   

   

여기까진 이해 가시죠?

3. 종단속도를 구해보자!!

   

이제 종단속도를 "대충" 구해 보겠습니다.

떨어지기 시작한 직후의 기울기는 중력가속도의 값과 같은 10m/s² 이라는 것으로 시작해서 정말 "대충" 계산하겠습니다.

어떻게 대충 구하냐고요??

물리에서는 그래프를 괜히 그리는 것이 아닙니다.

그래프 그려서 대충대충 구해요~~ ㅋㅋㅋ

이런 방법은 실제로도 쓰이는 방법인데 정확한 값을 알 수 없다면 극단적인 상태의 조건을 설정해서 대충 분석 한 다음 실험결과와 비교하면서 조금씩 정밀하게 계산 공식을 수정해 나가는 방법인데 "섭동"이라고 하는 방법입니다.

지금 저는 추락하는 엘리베이터에서 살 수 있는 가능성을 최대한으로 올려 놓은 상태이기 때문에 이미 계산은 대충대충 하고 있는 상태였으니까 종단속도 대충 계산한다고 뭐라고 하지 마세요~ ㅋㅋㅋ

실제로 저항력 함수를 이용해서 종단속도 구하는 방법을 쓰면 이 글은 다시 일반인을 위한 교양수준의 글을 넘어서게 됩니다.

   

우선 아래와 같이 초기 기울기를 그립니다.

   

   

그 다음 이 기울기 점선이 1초와 만나는 지점을 체크합니다.

   

   

이렇게 만나는 지점의 속도가 10m/s입니다.

   

가속도가 의미하는 것이 1초동안 속도가 얼마나 변하는가를 의미하기 때문에 중력가속도 10m/s² 이라는 소리는 자유낙하를 시작하고 1초뒤의 속도가 10m/s가 된다는 의미이기 때문에 위 그래프의 파란 점선부분의 속도가 10m/s 입니다.

즉, 종단속도는 10m/s보다도 더 느린상태라고 해석이 가능한데…

아까 제가 종단속도 도달 시점을 너무 빨리 잡았나봅니다 ㅜ.ㅜ

종단속도 치고는 너무 느리네요 ㅋㅋㅋㅋ 뭐 어차피 이렇게 해석해도 아마 죽는다는 결론은 변함 없을거니까 그냥 해석 할게요 ㅋㅋㅋ

   

   

그래프를 통해서 종단속도를 예측 해 보니까 10m/s의 7/8이 조금 넘는 속도네요

이렇게 계산 되는데… 어차피 대충 하는 계산 그냥 종단속도를 8m/s라고 할게요

이렇게 해도 충분히 죽을 것 같아요

이제 알짜배기만 정리해서 그래프를 그리면 아래와 같이 됩니다.

   

   

   

4. 바닥에 충돌하는 순간을 본격적으로 시뮬레이션 한다.

   

엘리베이터가 그리 높이 떠 있지 않아서 1초만에 바닥에 떨어진다고 해 보겠습니다.

1초만에 떨어지려면 어느 정도 높이에 떠 있어야 하는가는 속도-시간 그래프를 적분하면 이동거리가 나온다는 원리로 구할 수 있습니다.

   

   

이 그래프에서 색칠한 부분 만큼의 넓이가 엘리베이터의 높이 입니다.

지금은 곡선그래프의 함수 형태도 모르니까 이것도 대충 계산하도록 하겠습니다.

지금 제가 대충 계산 할 때마다 "살아날 확률이 더 커지는 방향으로"조건을 근사시키고 있으니까 나중에 결국 죽는다는 결론을 내렸을 때 딴 말 하지 마세요

현실에서는 아마 더 처참하게 죽을테니까…

   

암튼 저 부분의 넓이를 근사시켜서 삼각형의 넓이로 계산하겠습니다.

   

   

떨어지는 시간이 1초밖에 걸리지 않으면 겨우 3.25미터 위에서 떨어지는 것과 별반 다를 것이 없습니다.

즉, 아파트 2층에서 뛰어 내린다고 생각하면… 이 정도는 뼈만 튼튼하면 얼마든지 견딜 수 있다고 생각합니다.

그런데 우리는 아무런 충격도 받고 싶지 않잖아요?

그래서 충돌 직전에 살짝 뛰어주면 아무렇지도 않게 살 수 있을 것 같은 느낌이 막 들잖아요?

그럼 엘리베이터 그림으로 돌아가서 아이언맨을 점프시켜보도록 하겠습니다.

   

   

   

5. 점프를 시키자!

   

점프를 하기 위해서는 앉았다가 일어나야 합니다.

아래 그림에서는 여전히 폼 잡고 있지만 저런 자세로 대충 뛰면 안 되고 무릎을 완전히 굽혔다가 펴야 합니다.

   

   

그래서 다리를 완전히 굽혔다가 펴는 점프를 한다고 하면 점프하면서 바닥을 밀어 낼 수 있는 거리는 많이 따져봐도 아이언맨 키의 절반밖에 되지 않습니다.

즉, 엘리베이터 바닥을 1미터정도 밀어내는 동안에 아이언맨의 점프 속도는 6.5m/s에 도달해야지만 엘리베이터가 바닥에 충돌하는 순간 아이언맨은 아무런 충격을 받지 않게 되는 것이지요.

   

   

바닥을 1미터 밀어내는 동안 점프 속력을 6.5m/s로 만든다는 것이 어떤 의미이냐 하면 무릎을 굽혔다가 펴면서 등가속도 운동을 한다고 해도 엄청 빠른 시간 동안 몸을 6.5m/s까지 가속시켜야 된다는 것 입니다.

이것을 간단한 그래프로 표현하면 아래와 같은 상황입니다.

   

   

위 그래프에서 모르는 물리량 중에 가장 먼저 구할 수 있는 것이 걸리는 시간입니다. 그냥 삼각형 면적 구하는 방법으로 구하면 되거든요~

   

   

   

계산에 의하면 아이언맨은 약 0.3초만에 엘리베이터 바닥을 완전히 밀어내고 점프를 해야 엘리베이터가 땅바닥과 충돌 할 때 생기는 충격력을 피할 수 있습니다.

걸리는 시간을 구했기 때문에 이제 가속도는 당연히 구할 수 있겠죠?

   

   

아이언맨의 튼튼한 두 다리는 21m/s² 이라는 가속도를 견뎌야 하는데 그 때 필요한 힘을 알아보도록 하겠습니다.

   

   

6. 점프를 위해 필요한 힘과 에너지

   

이제 누구나 알고있는 상식중의 상식 F=m x a 를 이용 할 시간입니다.

힘을 구하기 위해 아이언맨의 질량을 알아야겠지만… 아이언맨 슈트는 너무 무거워서 그냥 키 1.86미터인 사람의 표준 질량으로 추정되는 76kg을 대입하겠습니다.

체중의 근거는 아래 블로그를 참고하였습니다.

http://mwultong.blogspot.com/2007/12/bmi-table.html

   

이제 힘을 계산하면 76kg X 21m/s² = 1596N

1596뉴턴이라는 힘이 계산되었습니다.

그런데 아이언맨은 1596뉴턴의 힘으로 1미터의 변위를 이동해야지 점프가 되기 때문에 이 때 아이언맨이 점프를 하기 위해 자기 몸에 해 주는 일의 양! 다시 말 해 점프를 하기 위해 필요한 에너지는 1596 J(줄) 입니다.

1596줄은 1.5톤이 넘는 트럭을 머리 위로 들어올릴 수 있는 에너지 입니다.

댓글에서 잘못된 점을 지적 해 주셔서 수정합니다.

1596줄은 1.5톤을 들 수 있는 능력이 아니고 150kg 정도를 들 수 있는 능력입니다.

질량X중력가속도X높이=위치에너지

이렇게 되는데 제가 중력가속도를 까먹고 생각해서 잘못 된 정보를 드렸습니다.

죄송합니다.

하실 수 있으세요?

이게 가능하다면 이미 인간 수준을 넘어선 초인이지요.

고작 공중에 3미터 조금 넘게 떠 있는 엘리베이터에서도 점프를 하려면 초인수준의 다리힘이 필요합니다.

이게 가능한 몸을 가진 상태라면 그냥 점프 안 해도 추락해서 받는 충격량 쯤은 견뎌 낼 수 있는 몸 일테니 굳이 점프를 할 필요도 없지요.

지금까지 저는 근사치로 계산 할 일이 생길 때마다 생존확률을 높이는 방향으로 값을 조절하였기 때문에 실제로는 이보다 더 큰 에너지를 한꺼번에 방출 할 수 있는 튼튼한 몸을 가지고 있어야 추락 직전에 점프를 하든 말든 할 수 있습니다.

당연히 더 높이 떠 있는 엘리베이터에서 점프를 하려면 훨씬 더 큰 에너지가 필요하고요!!

그러니까 엘리베이터가 바닥에 충돌하기 직전에 살짝 뛰어오르면 살 수 있다는 말을 하는 친구에게는 트럭 한 대 150kg 역기를 들어올릴 수 있냐고 물어보세요~

그것도 못 들면 2층에서 떨어져도 죽는다고...